信号分离研究内容--2

心中u你

写在开头的一句话：由于最近懒癌患病时间太长，加上最近有别的事情忙，已经拖更太久了，相信关注专栏的朋友们知道专栏有两篇文章都是写了一部分，都还缺少一部分内容才完整。具体是那两期呢？自己瞧去----（是不是太嚣张了，O(捂脸)O~~）。
截图说明：---（还是脸皮太厚，自食其言！）







《信号分离研究内容》本来早就准备好了，但是限于篇幅以及大家的阅读习惯，更新分成了两期的内容，而《希尔伯特变换和瞬时频率问题》本身属于连载文章，目前更新了两期，还缺最后一期。当然，有朋友一直催着我更新最后一期，这里谢谢大家的关心，确实由于个人原因，迟迟不能更新，也很抱歉。还有就是，作者本人在知乎上写文章没有什么目的，本着学术自由和分享的态度，所以也不能花太多时间在上面，毕竟作为学生，研究者，还是要不断专注自己的学术研究，只有我自己知识丰富了，才能给大家带来好的文章分享，所以还是要花大量时间充实自己的。----以上独白跳过。。。。
    好了，本期更新《信号分离研究内容》的后半段，由于第一期介绍了什么是信号分离？信号分离的本质核心是什么？为什么要做信号分离？这些内容都是本期内容的引子。。。本期将给大家介绍实用的具体技术，信号分离有哪些手段。。。（注意理论太难，我们尽量通俗化解释，通俗化必然造成不严谨，也请大家见谅！！！跪谢~~~）。
到目前为止，我们将现有的信号分析方法分为6大类方法：
1、最大后验概率的方法MAP（Maximal aposterior probability）
2、基于稀疏性的表示方法 Sparsity based method：based onsparse representation（根源于小波的表示）
3、基于新的范数（度量）的方法，Norm based method：based on newnorm
4、经验的方法，Empirical method：EMD etc（告诉你怎么算，但是不知道怎么办）
5、变分框架分解方法，VMD
6、基于一些数学工具，Other method：basis，frame，ICA（小波基，框架，ICA）
好了我们对这几类方法简单解释下，注意通俗但不严谨。。
（1） 最大后验概率方法
先研究一个简单信号分解问题，（复杂信号展开成一系列简单信号的组合），现在不考虑一下全部分解出来，难度太大，先做一个简单分解，先把一个信号写成一个相对简单得信号+另一个一个相对简单得信号
\[\text{S}=U+V\]
一个信号先分解成两个信号，下一步在对两个信号中的其中之一或是两个都再进行下一步分解。一个信号要写成上面的表达式，如果不提供一些先验知识的话，这种分解是没有办法实现的，这是一个完全不可解问题，问题提的不适定。MAP框架给出，求下面一个后验概率，在S已知的时候，U和V同时存在的概率就是后验概率，当后验概率达到最大时候的U和V的组合就是我们要求的分解组合。



将后验概率函数按照贝叶斯公式展开关于先验概率的模式，可以证明，上面的公式可以写成



U和V就是使得等式后边三个函数组合达到最小的那个组合。\[{{P}_{u}}\]是关于U的先验概率，需要先知道U是什么样的，需要得到什么样的U（先验知识是必须告知的，一般以概率分布的形式提供），同样\[{{P}_{\text{v}}}\]是关于V的先验概率，也必须知道V的先验概率。\[{{\theta }_{u}}\]和\[{{\theta }_{v}}\]是概率的模型参数,\[{{\lambda }_{\varphi }}\]是U和V之间的关系，要求S=U+V。这个模型是通用的信号分解模型，它依赖于两个先验概率。这里的简单得定义，指信号服从某个概率。制定一个概率模型就是对要分解的信号一个很强的约束。（维纳滤波也是这类方法，他就是把一个信号展开为两个信号的组合，一个信号相对平滑，一个信号相对是噪声信号，把两个信号分离就是信号的去噪过程）。由于概率分布做了太多假设，所以这样的方法框架太粗了。

（2）基于稀疏性的表示方法（Mallat等提出的）
每一个基都只是对所有可能信号集合里边的某一个子集比较好，把所要分析的信号划为若干子集，每一个子集挑一个基与其对应，这样，对于分析信号需要先判断是否属于某一个子集，如果不是那就需要展开成几个子信号，每个子信号都要在规定的子集里，达到把信号简单化得目的。具体处理技巧是：
    找到两个基或是字典\[{{\phi }_{u}}\]和\[{{\phi }_{v}}\]，两个基有这样的规定：要求分解得到的U在\[{{\phi }_{u}}\]这组基上展开时要比在\[{{\phi }_{v}}\]基上展开要效果好，（怎样才叫效果好呢？就是展开要稀疏，表示的效率要高）。分解得到的V在\[{{\phi }_{v}}\]这组基上展开时要比在\[{{\phi }_{u}}\]基上展开要效果好。（如果一个信号组成是时间域上的几个脉冲和频率域的几个脉冲构成，频率域的脉冲对应时间域中方向无穷的纯震荡信号，如果用小波函数表达方向无穷的振荡，需要非常非常多的小波基展开，而如果用傅里叶展开，基仅仅需要少数几个谐波就能展开，所以小波就不适合，但是时间域的脉冲用傅里叶来分解就非常复杂，其频率中是广谱信号，但是用小波就能对这种局部变化的信号能有非常好的表示，因此一个信号既含有时间域上的瞬时变化，又有频率域中的瞬时变化，采用小波或是傅里叶都是不合适的，需要把信号展开为两部分，一部分含有时间域瞬时变换的，一部分含有频率域瞬时变化的，前一个可以用小波，后一个用傅里叶，这样表达效率就非常高）
\[\text{U=}{{\phi }_{u}}{{\alpha }_{u}}\] and \[\text{V=}{{\phi }_{\text{v}}}{{\alpha }_{v}}\]

信号在两个基上的展开系数分别为\[{{\alpha }_{u}}\]和\[{{\alpha }_{\text{v}}}\]，求取方法，最小化下面这个目标函数


其中F的关系是\[\text{S}=U+V\text{=}{{\phi }_{u}}{{\alpha }_{u}}\text{+}{{\phi }_{v}}{{\alpha }_{v}}\]。这里的P有三个取值，对应三个不同的问题

P=0，零范数（非零元素的个数）Sparser：
\[\text{U=}{{\phi }_{u}}{{\alpha }_{1}}\text{=}{{\phi }_{\text{v}}}{{\alpha }_{2}}\]，\[{{\left\| {{\alpha }_{1}} \right\|}_{0}}<{{\left\| {{\alpha }_{2}} \right\|}_{0}}\]
注意\[{{\phi }_{u}}\]和\[{{\phi }_{\text{v}}}\]都能对同一个信号进行展开，只是展开效果不一样。\[{{\phi }_{u}}\]上展开稀疏就是\[{{\left\| {{\alpha }_{1}} \right\|}_{0}}\]越小，注意一般来讲是远远小于\[{{\left\| {{\alpha }_{2}} \right\|}_{0}}\]，这里零范数就是典型的稀疏问题求解，可是p=0问题非常差，解析性能非常不好（N-P难）,这类问题退化为两个问题
P=1，基的追踪。P=2，匹配追踪。对基的追踪也是压缩感知理论研究最多的方法。信号稀疏表达，大部分情况我们都是解1范数最小问题。
（3）基于新的范数（度量）的方法

不同空间依赖于不同的范数，或者不同尺子，两个尺子的度量长度不一样，\[{{\left\| \cdot  \right\|}_{u}}\]和\[{{\left\| \cdot  \right\|}_{v}}\]，将信号S分解为U+V时，需要用\[{{\left\| \cdot  \right\|}_{u}}\]度量U的时候比\[{{\left\| \cdot  \right\|}_{v}}\]度量U的时候小\[{{\left\| U \right\|}_{u}}<{{\left\| U \right\|}_{v}}\]。相应的\[{{\left\| V \right\|}_{u}}>{{\left\| V \right\|}_{v}}\]。两个范数衡量信号本身就有趋向性。这样的信号分解方法就是解下面优化问题


\[F\left( U,V \right)\]是两个信号的关系函数（Lagrange term），利用不同范数对不同信号的度量趋向性，来获得对信号的辨识和区分。
（4）经验的方法（EMD）
没有数学基础，EMD对简单信号的定义为IMF，满足两个要求，第一要震荡，极值点的个数和过零的个数相等或差1，第二，任何一个点都有局部的关于零的对称性。EMD方法可以说是自适应信号处理方法的代表方法，他开创了自适应数据驱动分解方法分析的时代。现有大量研究者在自适应信号处理领域耕耘，不过很遗憾，该方法到目前为止还没有理论基础。但是，该方法的实验研究表明，该方法具有广泛的通用性，同时开辟了自适应信号处理新领域，大量自适应信号处理方法都基于EMD的思想。例如（ITD，SWT，EWT，VMD，NSP等等方法）。
（5）变分框架分解（VMD）

VMD 的分解过程是变分问题的求解过程，其核心思想是构造如下优化问题：




该方法在获取分解分量的过程中通过迭代搜寻变分模型最优解来确定每个分量的频率中心及带宽，从而能够自适应地实现信号的频域剖分及各分量的有效分离。目标函数构建分三步进行: ①通过Hilbert 变换计算与每一个模态相关的解析信号;②通过加入指数项调整各自估计的中心频率，将每一个模态的频谱移动到基带上; ③带宽的估计使用了解调信号的H 高斯平滑，即梯度的二范数的平方; 式中\left\{ u_{k} \right\} 是模态函数集合，而\left\{ \omega_{k} \right\} 是中心频率。通过该函数的不断优化可以实现类似EMD分解的分解结果。ＶＭＤ算法在获取IMF分量时摆脱了EMD法所使用的循环筛分剥离的信号处理方式，但是优化问题参数选择非常敏感。该方法诞生2014年，有兴趣的可以看看原始文章。
https://www.researchgate.net/publication/258697023_Variational_Mode_Decomposition代码可以到File Exchange - MATLAB Central下载：
Variational Mode Decomposition - File Exchange - MATLAB Central

（6）现有数学手段
基于数学工具的方法是大家用的最多，但是常常忘记的方法，如降维方法中的PCA，SVD方法，盲分离方法ICA，FastICA方法等等。几乎所有的降维算法都能用于信号分离，如流行学习的算法。同时包括一些框架的算法，这些方法就是传统数学理论的运用，这里就不多讲了。
最后总结下现有信号处理方法的现状和进展，以下个人观点，请辩证的阅读，如有错误，作者本人不承担任何责任。

• 时域分析--所有基于统计的方法。
  
• 频域--傅里叶变换（平稳信号处理方法）。
  
• 时频分析方法--窗口傅里叶变换STFT、时频分布方法（Winger-Ville、Cohen分布等等），小波方法WT，双树复数小波DTCWT，多小波Multi-WT，脊波变换等等（传统非平稳信号分析）
  
• EMD方法，LMD，LCD，ITD等方法，这些都是基于EMD方法本身，属于自适应非平稳信号处理方法。理论基础薄弱。
  
• 字典方法，SWT，EWT，这些方法都是基于字典或是小波框架的方法，但是具有自适应分析能力，也属于自适应非平稳信号处理方法。
  
• 稀疏时频分析的方法，这类方法是基于字典的优化方法，也是稀疏表达大类的方法，属于自适应非平稳分析方法。
  
• VMD方法，不讲了，讲过了。。。
  
• 还有很多。。。读者自行查阅相关文档
  

关于自适应信号分析方法，特别是EMD后续研究方法，会在《希尔伯特变换和瞬时频率问题》后续更新中说明，请关注。。。谢谢！！！

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/26491408